本週類似題
多項式的加減
1-1 多項式的意義 · 1-2 多項式的加減 · 共 14 題
1-1
多項式的意義
判別・次數・係數・排列
ex1
請問下列式子，共有幾個是 x 的多項式：
個。
2x − 5 = 0
3
4
x
5
x
+ 2
| 2x | + 1
7
x
2
− 3x + 1
ex1
下列各多項式分別是幾次多項式？各項係數為何？請完成下表：
多項式
次數
x³ 項係數
x² 項係數
x 項係數
常數項
3x
2
+ x − 8
−8
−4x
3
+
5
2
x
3
5
2
ex2
依照下列各式回答問題。
x
3
+ 5
6x
3
−
2
3
x − (3 − x
2
)
(1) 哪一個是 x 的三次多項式？答：
(2) 哪一個是 x 的二次多項式？答：
(3) 哪一個是 x 的一次多項式？答：
(4) 哪一個是 x 的常數多項式？答：
ex3
將多項式
2x − 7 + 5x
2
− 3x
3
依照升冪方式排列：
1-2
多項式的加減
化簡・求未知多項式
ex1
化簡下列各多項式：
(1)
3x
2
− 5x + 4 − 3x + 6x
2
− 8
=
(2)
7x
3
+ 6x
2
− 8x + 5 − 4x
3
+ 3x
2
+ 2
=
ex2
化簡下列各式：
(1)
(−3x
2
+ 2 + x
3
) − (x
2
+ 5x)
=
(2)
(4x
2
− 3x + 2) + (−4x
2
+ 5x − 7)
=
(3)
(6x
2
− 2x + 5) + (−x
2
+ 3x + 4) − (2x
2
+ x − 6)
=
ex3
化簡
(7x
2
+ 4x − 5) + (ax
2
− 3x + b)
的結果，若 x² 項係數為 3，常數項為 2，
則
a + b
=
ex4
已知 A 為一個多項式，且
A − (3x
2
− 2x + 4) = 2x
2
+ 8x − 7
，
求多項式
A
=
ex5
若
3x − 4x
2
與多項式 A 的和為
3x
3
+ 2x
2
− 1
，則多項式
A
=
ex6
設 A、B 為兩多項式，已知
A + 2B = x
2
+ 8x − 10
，
A + B = x
2
+ 3x − 4
，
則
A − B
=
幾何
多項式的圖形應用
線段長・面積
ex1
右圖是一個凸字形圖案，相鄰兩邊線段均互相垂直，
其中
AB = 2x + 3
，
CD = 4x
2
− 2x − 7
，
EF = 2x
2
− 3x
， 求
GH
。（以 x 的多項式表示）
A
H
F
E
D
C
B
G
AB
CD
EF
GH
凸字形（相鄰兩邊互相垂直）
ex2
試以 x 的多項式表示右圖的面積：
（圖形中每一個轉角都是直角）
x
3
5
2x + 1
4
2
x + 2
階梯形（每個轉角都是直角）
提示：可拆成「大矩形 ＋ 左上凸塊 － 右下凹口」三塊。
進階
係數判別與次數觀念
ex1
A = (a − 2)x
3
+ (b − 4)x
2
+ ax + b
為一次多項式，求
A
=
ex2
若 A 為 x 的二次多項式，B 為 x 的一次多項式，則 A + B 為 x 的幾次多項式？
(1) 三次 (2) 二次 (3) 一次 (4) 常數
ex3
兩個 x 的二次多項式相加，其結果是 x 的幾次多項式？
(1) 二次 (2) 一次 (3) 常數 (4) 不一定
ex4
若 x 的多項式
(3x + ax
2
) − (a − bx) − (4x
2
− b)
是常數多項式，則
a
=
，
b
=
。
✓
所有答案
▶
1-1 ex1（判別）
3 個（(2)、(5)、(6)）
1-1 ex1（表格1）
3x²+x−8：次數 2；x³ 0、x² 3、x 1、常數 −8
1-1 ex1（表格2）
−4x³+(5/2)x：次數 3；x³ −4、x² 0、x 5/2、常數 0
1-1 ex2
三次:(2) 二次:(4) 一次:(1) 常數:(3)
1-1 ex3
−7 + 2x + 5x² − 3x³
1-2 ex1 (1)
9x² − 8x − 4
1-2 ex1 (2)
3x³ + 9x² − 8x + 7
1-2 ex2 (1)
x³ − 4x² − 5x + 2
1-2 ex2 (2)
2x − 5
1-2 ex2 (3)
3x² + 15
1-2 ex3
a = −4、b = 7 → a + b = 3
1-2 ex4
A = 5x² + 6x − 3
1-2 ex5
A = 3x³ + 6x² − 3x − 1
1-2 ex6
A − B = x² − 7x + 8
幾何 ex1
GH = 2x² + 3x − 4
幾何 ex2
面積 = 11x + 1
進階 ex1
a = 2、b = 4 → A = 2x + 4
進階 ex2
(2) 二次
進階 ex3
(4) 不一定
進階 ex4
a = 4、b = −3
？
解題詳解
▶
1-1 ex1 判別 x 的多項式
▶
多項式的條件：每一項都是「常數 × x 的非負整數次方」，
不可
含有變數在分母、絕對值、或為「等式」。
(1) 2x−5=0 → 是
方程式
，不是多項式。✗
(2) (3/4)x → 一次多項式。✓
(3) 5/x + 2 → x 在
分母
，不是多項式。✗
(4) |2x|+1 → 含
絕對值
，不是多項式。✗
(5) 7 → 常數多項式。✓
(6) x²−3x+1 → 二次多項式。✓
共 3 個
1-1 ex1 次數與各項係數
▶
3x² + x − 8
：最高次為 x²，
次數
2；x³ 項不存在係數 0；x² 係數 3；x 係數 1；常數 −8。
−4x³ + (5/2)x
：最高次 x³，
次數
3；x³ 係數 −4；x² 不存在係數 0；x 係數 5/2；無常數項，常數 0。
表格 1：2、0、3、1、−8 ｜ 表格 2：3、−4、0、5/2、0
1-1 ex2 判別次數
▶
(1) (x/3)+5 → 最高次 x¹，
一次
。
(2) 6x³ →
三次
。
(3) −2/3 → 沒有 x，
常數
。
(4) x−(3−x²)=x−3+x²= x²+x−3 →
二次
。
三次:(2) 二次:(4) 一次:(1) 常數:(3)
1-1 ex3 升冪排列
▶
升冪 = 由
低次到高次
。原式各項：2x（1次）、−7（常數）、5x²（2次）、−3x³（3次）。
依常數 → x → x² → x³ 排好。
−7 + 2x + 5x² − 3x³
1-2 ex1 合併同類項
▶
(1)
3x²−5x+4−3x+6x²−8，把同類項分別相加：
x²：3x²+6x²=9x²； x：−5x+(−3x)=−8x； 常數：4+(−8)=−4。
(1) 9x² − 8x − 4
(2)
x³：7x³−4x³=3x³；x²：6x²+3x²=9x²；x：−8x；常數：5+2=7。
(2) 3x³ + 9x² − 8x + 7
1-2 ex2 去括號後化簡
▶
(1)
(−3x²+2+x³) − (x²+5x)：減號使第二括號變號。
= x³ − 3x² + 2 − x² − 5x = x³ − 4x² − 5x + 2。
(1) x³ − 4x² − 5x + 2
(2)
(4x²−3x+2)+(−4x²+5x−7)：x² 抵消，−3x+5x=2x，2−7=−5。
(2) 2x − 5
(3)
先去括號：6x²−2x+5 − x²+3x+4 − 2x²−x+6。
x²：6−1−2=3 → 3x²；x：−2+3−1=0；常數：5+4+6=15。
(3) 3x² + 15
1-2 ex3 由係數求 a + b
▶
相加後 x² 係數 = 7 + a，常數 = −5 + b。
x² 係數為 3：7 + a = 3 →
a = −4
。
常數為 2：−5 + b = 2 →
b = 7
。
a + b = −4 + 7 = 3
1-2 ex4 求多項式 A
▶
A − (3x²−2x+4) = 2x²+8x−7，移項：A = (2x²+8x−7) + (3x²−2x+4)。
x²：2+3=5；x：8−2=6；常數：−7+4=−3。
A = 5x² + 6x − 3
1-2 ex5 由和求 A
▶
(3x−4x²) + A = 3x³+2x²−1，所以 A =（和）−（3x−4x²）。
A = (3x³+2x²−1) − 3x + 4x²。
x³：3x³；x²：2+4=6x²；x：−3x；常數：−1。
A = 3x³ + 6x² − 3x − 1
1-2 ex6 聯立求 A − B
▶
兩式相減：(A+2B) − (A+B) = B。
B = (x²+8x−10) − (x²+3x−4) = 5x − 6。
由 A+B=x²+3x−4：A = (x²+3x−4) − B = (x²+3x−4) − (5x−6) = x² − 2x + 2。
A − B = (x²−2x+2) − (5x−6) = x² − 7x + 8。
A − B = x² − 7x + 8
幾何 ex1 凸字形求 GH
▶
凸字形左右兩側「鉛直線段總高相等」。
左側：A→B→C→D，鉛直總高 = AB + CD。
右側：H→G→F→E，鉛直總高 = GH + EF。
兩側等高：AB + CD = GH + EF，移項得 GH = AB + CD − EF。
GH = (2x+3) + (4x²−2x−7) − (2x²−3x)。
x²：4−2=2x²；x：2−2+3=3x；常數：3−7=−4。
GH = 2x² + 3x − 4
幾何 ex2 階梯形求面積
▶
拆成三塊：
① 大矩形：寬 (2x+1)、高 5 → (2x+1)×5 = 10x + 5。
② 左上凸塊：寬 x、高 3 → x×3 = 3x（加上）。
③ 右下凹口：寬 (x+2)、高 2 → (x+2)×2 = 2x+4（減去）。
面積 = (10x+5) + 3x − (2x+4) = 10x+5+3x−2x−4。
面積 = 11x + 1
進階 ex1 使其為一次多項式
▶
一次多項式 → x³、x² 的係數都要為 0，且 x 的係數不為 0。
x³ 係數：a − 2 = 0 →
a = 2
。
x² 係數：b − 4 = 0 →
b = 4
。
代回：A = 0 + 0 + 2x + 4，一次係數 2 ≠ 0，成立。
A = 2x + 4
進階 ex2 二次 + 一次
▶
A 為二次（含 x² 項），B 為一次（最高只到 x）。相加時 x² 項不會被抵消。
故最高次仍為二次。
(2) 二次
進階 ex3 兩個二次相加
▶
若 x² 係數
不互為相反數
（如 3x²+5x²=8x²）→ 結果仍二次。
若 x² 係數
互為相反數
（如 3x²+(−3x²)=0）→ 結果可能降為一次或更低。
因此無法確定一定是幾次。
(4) 不一定
進階 ex4 使其為常數多項式
▶
先展開：(3x+ax²) − (a−bx) − (4x²−b)
= ax² + 3x − a + bx − 4x² + b
= (a−4)x² + (3+b)x + (−a+b)。
常數多項式 → x²、x 係數都為 0。
x² 係數：a − 4 = 0 →
a = 4
。
x 係數：3 + b = 0 →
b = −3
。
a = 4，b = −3